DualOktal

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Der Taschenrechner im Windows-System bietet zwar in der wissenschaftlichen Ansicht die Möglichkeit Zahlen in das Dual-, Oktal-, Dezimal- und Hexadezimalsystem umzurechnen, aber einige Leute wissen vermutlich gar nichts mit diesen Begriffen anzufangen. Als erstes möchte ich deshalb hier kurz erläutern was diese Bezeichnungen eigentlich bedeuten:

Im Dual-System sind nur zwei Zeichen enthalten, die 0 und die 1.
Im Oktal-System sind es die acht Zeichen von 0 bis 7.
Im Hexadezimal-System sind es sechzehn Zeichen und zwar die 0 bis 9 und die Buchstaben A, B, C, D, E und F. (Ich werde weiter unten näher auf die Bedeutung der Buchstaben eingehen)

Jetzt stellt sich natürlich die Frage, wozu braucht man diese Zahlensysteme überhaupt? Nun, für die Nutzung des  Dualsystems gibt es eine einfach Antwort: Sie sitzen bereits vor einem solchen System; der Computer speichert und rechnet nämlich generell in diesem System! In seinen Schaltkreisen gibt es nämlich nur die Zustände das Strom fließt - das ist die 1 - oder es fließt kein Strom - das ist dann die 0.
Das  Hexadezimalsystem wird ebenfalls im Computer-Wesen benutzt. Da die Darstellung von Inhalten mit dem Dualsystem sehr lange Zahlenreihen ergibt, kürzt man diese mit dem Hexadezimal-System wesentlich ab. Wollte man z.  B. bei der  Darstellung von Farben in modernen Computern (über 16 Millionen Farben oder auch 24-Bit Farbtiefe genannt) eine Farbe beschreiben müsste eine Kolonne von 24 Nullen und Einsen herangezogen werden, während beim Hexadezimalsystem sechs Zeichen dafür genügen.
Als Beispiel nehme ich hier mal die Farbe Weiß. Als Hexadezimal-Zahl wird diese Farbe mit FFFFFF als Dualzahl mit  111111111111111111111111 ausgegeben! In unserem Dezimal-System ist das übrigens die Zahl 16777215.

Kommen wir nun zur Umrechnung von Dezimalzahlen in die anderen Systeme. Hierzu gibt es eine Vorgehensweise, die für alle Systeme gleich ist. Man ermittelt zuerst die Anzahl der Zeichen für das Zielsystem und kann dann gleich loslegen.
Ich wähle hier einfach mal 13677 als Dezimalzahl und rechne diese erst mal in eine Hexadezimalzahl um. Hier hat das Zielsystem also 16 Zeichen und jetzt kann man rechnen:

13677

:

16

=

854

Rest 13

854

:

16

=

53

Rest 6

53

:

16

=

3

Rest 5

3

:

16

=

0

Rest 3

Jetzt nimmt man die Zahlen, die als Rest übrig geblieben sind und zwar in der Reihenfolge von unten nach oben und erhält   in diesem Beispiel als Ergebnis 3 5 6 13. Diese Zeichen werden einfach hintereinander weggeschrieben, wobei allerdings die Zahlen von 10 bis 15 nochmals umgesetzt werden müssen; und zwar:
 10 als A,
 11 als B,
 12 als C,
 13 als D,
 14 als E und
 15 als F.
Wenn wir das auf dieses Beispiel anwenden erhalten wir als Ergebnis 356D.
Nehmen Sie doch mal Ihren Taschenrechner und prüfen das Ergebnis nach!

So, nun rechnen wir das ganze auch noch in das Dualsystem um:

13677

:

2

=

6838

Rest 1

6838

:

2

=

3419

Rest 0

3419

:

2

=

1709

Rest 1

1709

:

2

=

854

Rest 1

854

:

2

=

427

Rest 0

427

:

2

=

213

Rest 1

213

:

2

=

106

Rest 1

106

:

2

=

53

Rest 0

53

:

2

=

26

Rest 1

26

:

2

=

13

Rest 0

13

:

2

=

6

Rest 1

6

:

2

=

3

Rest 0

3

:

2

=

1

Rest 1

1

:

2

=

0

Rest 1

Diese Ziffern schreiben wir jetzt wieder als Ergebnis von unten nach oben zusammen und erhalten 11010101101101.

Mit diesen zwei Beispielen dürfte die Umrechnung in ein Oktal-System oder in ein System auf einer beliebigen anderen Basis klar sein. Man dividiert solange durch die Basiszahl und ermittelt den Rest der Division, bis das Ergebnis Null ist.

Will man eine Dual-, Oktal- oder Hexadezimal-Zahl in eine Dezimal-Zahl umwandeln, kommt die folgende Formel zum Tragen (n ist die Basiszahl):
Man beginnt mit der am weitesten rechts stehenden Zahl und multipliziert diese mit n0, die davor stehenden Zahl mit n1, die davor stehende mit n2 und so weiter. Zum Schluss addiert man alle Zahlen zusammen und hat das Ergebnis!

Hierzu nun auch zwei Beispiele:
Umrechnung der Hexadezimalzahl 9AC6 und der Dualzahl 1011000110

6

*

160

(1)

=

6

C
(12)

*

161

(16)

=

192

A
(10)

*

162

(256)

=

2560

9

*

163

(4096)

=

36864

Ergebnis

39622

0

*

20

(1)

=

0

1

*

21

(2)

=

2

1

*

22

(4)

=

 4

0

*

23

(8)

=

0

0

*

24

(16)

=

0

0

*

25

(32)

=

0

1

*

26

(64)

=

64

1

*

27

(128)

=

128

0

*

28

(256)

=

0

1

*

29

(512)

=

512

Ergebnis

710